كليات معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي
دسته بندي :
علوم پایه »
ریاضی
مقدمه
يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (يا نسبي) براي يك تابع رابطهاي است كه بين تابع مجهول u و متغيرهاي مستقل آن (به تعداد متنابهي) و مشتقات جزئي تابع u نسبت به متغيرهاي مستقل آن برقرار ميباشد. تابع u را جوابي براي معادله ديفرانسيل فوق ميناميم هرگاه پس لز جايگزيني u(x,y,...) و مشتقات جزئي آن، اين معادله ديفرانسيل نسبت به متغيرهاي مستقل مذكور، درناحيه اي از فضاي اين متغيرهاي مستقل تبديل به يك اتحاد شود.
مرتبة يك معادلة ديفرانسيل با مشتقات جزئي بالاترين مرتبة مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) يك معادله ديفرانسيل مرتبه دوم است. در اينجا و و
يك معادلعه ديفرانسيل با مشتقات جزئي را خطي گوئين هرگاه اين معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل هستند، خطي باشد. يك معادله با مشتقات جرئي از مرتبه m را شبه خطي گوئيم هرگاه اين معادله نسبت به مشتقات جزئي مرتبه mام تابع مجهول، با ضرايبي كه فقط تابع متغيرهاي مستقل u و مشتقات از مرتبه كمتر از m هستند، خطي باشد (مانند مثال بالا) يك معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خطي يك حالت خاص معادله شبه خطي است.
2- معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول
معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي مرتبه اول خطي با ضرايب ثابت
به عنوان گام نخست معادلع ديفرانسيل (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر ميگيريم، كه در آن تابع f داده شده و ضرايب ثابتاند. سعي ميكنيم با تغيير متغيرهاي ساده مانند (2-2) x=ay+a1 و y=by+b1 معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي (2-1) را به معادله ديفرانسيل ) uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبديل كنيم كه مانند يك معادله ديفرانسيل معمولي خطي مرتبه اول با ضرايب ثابت نسبت به متغير مستقل y حل ميشود، منتها ثابت انتگرالگيري تابع دلخواهي از خواهد بود. بعد از حل بجاي y و برحسب x و y جانشين ميكنيم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه اين كار آنست كه دترميبنال ضرايب تغيير متغيرهاي (2-C) غيرصفر باشد، سعني مستقل بودن اين متغيرها تضمين شود (اين دترمينال ژاكوبي تغيير متغيرها است)
مثال ا
قضيه زير يك روش حل معادله با مشتقات جزئي مرتبه اول شبه خطي را پيش روي ما ميگذارد كه فعلاً از بيان آن خودداري ميكنيم.