ايده آل هاي خطي به ترتيب كوهن-مكوالي

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
چكيده- G را يك نمودار غيرمستقيم ساده n راسي در نظر بگيريد و بگذاريد برايده آل خطي مرتبطش دلالت كند. مانشان مي دهيم كه تمام نمودارهاي و تري G ، به ترتيب كوهن- مكوالي هستند ، دليل ما بر پايه نشان دادن اين است كه دوگانه الكساندر I(G) ،خطي و ازمولفه است.
نتيجه ما فرضيه فريدي را كه مي گويد ايده آل درخت ساده شده به ترتيب كوهن- مكوالي، هرزوگ، هيبي، مي باشد، وفرضيه ژنگ كه مي گويد يك نمودار وتري كوهن-مكوالي است اگر و تنها اگر ايده آل خطي اش در هم ريخته نباشد، را تكميل مي كند. ما همچنين ويژگي هاي دايره هاي مرتب كوهن- مكوالي را بيان مي كنيم و نمونه‌هايي از گراف هاي مرتب غيروتري كوهن- مكوالي را هم ارائه مي كنيم.

1-مقدمه
G را يك گراف ساده n راسي در نظر بگيريد پس G هيچ حلقه يا خطوط چندگانه اي پهن دو راس ندارد.) رئوس ومجموعه هاي خطي G توسط EG,VG را به ترتيب نشان دهيد. ما ايده آل تك جمله اي غير مربع چهارگانه با K كه يك ميزان است و جايي كه را به G ارتباط مي دهيم.ايده ال ايده آل خطي Gناميده مي شود.
توجه اوليه اين مقاله ايده آل هاي خطي گراف هاي وتري است. يك گراف G وتري است اگر هر دايره طول يك وتر داشته باشد. اينجا اگر ،خطوط يك دايره طول n باشند، ما مي گوييم كه دايره وري يك وتر دارد اگر دو راس xj,xi در دايره به نحوي وجود داشته باشند كه يك خط براي G باشند اما خطي در دايره نباشد.
ما مي گوييم كه يگ گراف G كوهن –مكوالي است اگر كوهن-مكوالي باشد. چنانكه هرزوگ، هيبي و ژنگ اشاره مي كنند، طبقه بندي تمام گراف هاي كوهن-مكوالي شايد اكنون قابل كشيدن نباشند، اين مسئله به سختي طبقه بندي كردن تمام مجموعه هاي ساده شده كوهن-مكوالي است.]9[.البته هرزوگ، هيبي و ژنگ در ]9[ ثابت كردند كه وقتي G يك گراف وتري باشد،پس G در هر ميداني كوهن-مكوالي است اگر وفقط اگر به هم نريخته باشد.
ويژگي كوهن –مكوالي به ترتيب بودن، كه شرايطي است ضعيف تر از كوهن-مكوالي بودن، توسط استنلي ]14[ در ارتباط با تئوري قابليت جدا شدن غيرخالص معرفي شد.
تعريف 1-1- را در نظر بگيريد. يك M معيار B درجه دار كوهن –مكوالي به ترتيب ناميده مي شود اگر يك تصفيه معين از معيارهاي R درجه بندي وجود داشته باشد.


به نحوي كه كوهن –مكوالي باشد، و ابعاد كرول خارج قسمت در حال افزايش باشند:


ما ميگوييم يك گراف G كوهن-مكوالي به ترتيب است و در K اگر كوهن-مكوالي به ترتيب باشد. ما مي توانيم به نتيجه هرزوگ، هيبي و ژنگ بر سيم البته با استفاده از اين تضعيف شرايط كوهن-مكوالي. نتيجه اصلي ما فرضيه زير است (كه مستقل از خاصيت (K) است.
فرضيه 2-1 فرضيه 2-3.تمام گراف هاي وتري كوهن-مكوالي به ترتيب هستند.
بنابراين حتي گراف هاي وتري كه ايده آل هاي خطي نشان در هم نريخته نيستند نيز هنوز يك ويژگي جبري را دارا هستند.فرضيه 2-3 همچنين حالت يك بعدي كار فردي در توده هاي ساده شده ]3[ را نيز عموميت مي بخشد.
مقاله ما به صورت زير سازمان مي يابد. در قسمت بعدي ، ما نتايجي از اين ادبيات درباره دوگانگي الكساندر ودرباره گراف هاي وتري جمع مي كنيم. در بخش 3،فرضيه 2.3 را ثابت مي كنيم.
ما برخي از گراف هاي غيروتري در قسمت 4 را كه دايره هاي كوهن-مكوالي را به ترتيب طبقه بندي مي كنند بررسي مي كنيم و در مورد برخي ازويژگي هاي گراف‌هاي شامل دايره هاي –n براي n>3 تحقيق مي كنيم.
همچنين شرايط كافي را براي گرافي كه نمي تواند كوهن-مكوالي به ترتيب باشد ،ارائه مي كنيم.
2-اجزا مورد نياز
درطول اين مقاله، G بر يك گراف ساده روي رئوس n با مجموعه نقطه اي VG ومجموعه خطي EG دلالت مي كند. ايده آل خطي ،جايي كه را به G مربوط مي سازيم.
گراف كامل در رئوس n كه بر Kn دلالت شده است،گرافي است با مجموعه خطي ، يعني گراف اين ويژگي را دارد كه خطي بين هر جفت رئوس وجود دارد. اگر x نقطه اي در G باشد بايد بنويسيم N(x) كه بر همسايه‌هاي x دلالت كند،يعني آن رئوسي كه خطي را با x شريكند. ما ابتدا بايد به حالتي توجه كنيم كه G يك گرافي وتري است.گراف هاي وتري ويژگي زير را دارند:
لم 21- G,[6,7,12,15] را يك گراف وتري در نظر بگيريد، x را يك زير نمودار كامل از G در نظر بگيريد.اگر ،پس نقطه اي به نام وجود داردكه زيرگراف به وجود آمده توسط مجموعه همسايه مربوط به x، يك گراف كامل باشد. اين امر همچنين زير نمودار به وجود آمده در را وادار مي كند كه يك زير گراف كامل باشد.
يك پوشش راس گراف G يك زير مجموعه از VG است به نحوي كه هر خط G حداقل به يك راس A برخوردار داشته باشد. توجه كنيدكه ما هيچ وقت به داشتن يك راس مجزا در پوشش راس نياز نداريم.
مثلا ، اگر ما گرافي در سه راس داشته باشيم و تنها خط موجود باشد، پس هر دو پوشش هاي راس هستند. پوشش هاي راس يك گراف G به دو گانه الكساندر مربوطند.
تعريف 2-2- I را يك ايده آل تك جمله اي غيرمربع در نظر بگيريد. دوگانه الكساندر غيرمربع ايده آل
است.

پس نتيجه ساده اي گرفته مي شود:
لم 3-2- G را يك گراف ساده با ايده آل خطي در نظر بگيريد.پس

يك پوشش راس براي G است.

يك تجزيه درجه بندي شده آزاد حداقل به هر ايده آل همگون I از R مرتبط است.

كه در آن R(j) بر معيار R به دست آمده از تغيير درجات R توسط j دلالت مي كند.